Pitágoras: las proporciones y el universo – Matemáticas Tercero de Secundaria

¿Qué vamos a aprender?

En esta ocasión conocerás al filósofo y matemático de la antigua Grecia.

A esta persona se le considera como el primer matemático puro; a la fecha se conservan algunos de sus teoremas y postulados, particularmente en geometría y aritmética, dos ramas de las matemáticas.

Se trata de Pitágoras de Samos. Y en esta sesión conocerás acerca de su vida y obra.

Lee la siguiente frase célebre de Pitágoras: “Aprende lo necesario para que tu vida sea más feliz: lo mejor en todo es la justa medida. Así es que reflexiona tomando como guía la recta razón”.

La sesión tiene como propósito hablar de la vida y obra de Pitágoras, y conocer las matemáticas como una construcción social en donde se formulan y argumentan hechos y procedimientos aritméticos.

Ten a la mano tu cuaderno de apuntes, lápiz o bolígrafo y goma para que anotes cualquier idea o inquietud sobre las aportaciones del matemático: Pitágoras.

¿Qué hacemos?

Pitágoras nació en el año 569 antes de nuestra era, en Samos, Jonia, una ciudad de Grecia.

Su padre fue Mnesarco, un mercader originario de la ciudad de Tiro, Fenicia. Y su madre llevó por nombre Pythais, una lugareña de Samos.

Tuvo un nevo de nacimiento en su muslo. Es decir, un lunar que llevó desde su nacimiento y fue uno de sus distintivos. Así como el dato de que fue considerado uno de los primeros vegetarianos.

Pasó sus primeros años en Samos, pero viajó mucho con su padre, aprendió a tocar la lira, a recitar a Homero y, por supuesto, a escribir poesía.

En su juventud tuvo tres mentores filósofos, quienes fueron una gran influencia para él.

Uno de ellos fue Tales de Mileto que, como indica su nombre, era proveniente de Mileto. En aquel entonces tenía entre 18 y 20 años.

Tales de Mileto despertó en él un gran interés por las matemáticas y la astronomía. De hecho, lo aconsejó viajar a Egipto para aprender más sobre estas asignaturas.

Además, se sabe que su pupilo Anaximandro tuvo influencia en sus ideas sobre geometría y cosmología en varios de sus estudios.

Entonces, Tales de Mileto le aconsejó viajar a Egipto, así como calculó la altura de las pirámides a partir de la longitud de su sombra. Esto, por supuesto, fue durante un viaje como mercader que realizó a Egipto.

Además de matemático, Tales de Mileto fue un mercader. Precisamente estos viajes le permitieron expandir su interés por viajar y, al mismo tiempo, transmitirle ese entusiasmo a Pitágoras.

Al estar en Egipto, visitó varios templos y tuvo la oportunidad de participar en debates con sacerdotes, que eran personas especialistas en distintas asignaturas.

Y ese entusiasmo por viajar creció y creció.

Además de estar en Egipto, visitó Arabia, Babilonia, Crotona, Fenicia, Italia, Judea y Metaponto y llegó hasta India.

En todos esos lugares fue conociendo distintos modos de vida: el vegetarianismo, el secretismo, el rechazo por las ropas confeccionadas con animales y una vocación por la pureza, porque no sólo se adaptó a cada lugar, sino que adquirió nuevos hábitos y costumbres de los lugares visitados.

Constantemente procuró una educación que comprendiera distintos tipos de conocimientos, y una correspondencia con el universo mitológico.

En Egipto fue preso y llevado a Babilonia. El rey de Persia Cambises II invadió Egipto y después de ganar la batalla de Pelusio, en el Delta del Nilo, la resistencia egipcia se desplomó y fue tomado prisionero.

Esta experiencia le sirvió para perfeccionar sus estudios en aritmética, música y otras ciencias en las que los babilonios eran expertos.

Llegó a la ciudad de Crotona, en la magna Grecia, ubicada al sur de las ciudades-Estados que hoy se reconocen como Italia.

En esa ciudad italiana fundó su academia conocida como “La Escuela Pitagórica”.

En ella eran aceptados tanto hombres como mujeres, y se asignaron el título de “Los matematikoi”, que significa “Los conocedores”, porque se consideraba que la realidad es de naturaleza matemática. Y fue todo un éxito.

La escuela se transformó en una comunidad que llegó a tener 300 seguidores, de los cuales algunos vivían en la misma escuela.

Estos eran jóvenes dotados para el pensamiento abstracto y el conocimiento científico, y no solamente comprometidos con el cultivo de las matemáticas, sino con la totalidad del conocimiento.

Los Acusmáticos también asistían a la Escuela Pitagórica, pero vivían en sus propias casas.

El nombre de “Acusmáticos” proviene de la “acústica”, así como “los matemáticos” eran identificados como “Los Auditores”. Sin embargo, éstos sólo asistían durante el día y no se les exigía, como al resto de las alumnas y los alumnos, que fueran vegetarianos.

Entonces, los matematikoi estudiaban las matemáticas como lo hacen hoy en día las personas que asisten a la universidad. La idea era analizar los principios de las matemáticas, el concepto de número, el concepto de una figura matemática como el triángulo y otras ideas abstractas.

Se sabe que consideraba que los números son la esencia de todas las cosas, y que el mundo es armónico por las proporciones aritméticas que lo gobiernan.

Sus discípulos se dedicaron a descubrir las propiedades y relaciones numéricas para establecer analogías entre los números y las cosas.

El producto de su esfuerzo científico tuvo como resultado una mística numérica que influyó en todo el mundo antiguo y puso la última piedra de un largo proceso: la fundación de las matemáticas como ciencia.

Incluso Aristóteles, tiempo después, subrayó que:

Aristóteles comprendió su pensamiento.

Se creería que no existe correspondencia entre la música y las matemáticas, pero existe una relación armoniosa.

La palabra “música” tiene su origen en el término griego musiké, que se traduce literalmente como “el arte de las musas”. Para formar una sonora y agradable melodía, están presentes las matemáticas, que se revelan en dos observaciones.

La primera es sobre el sonido que produce una cuerda pulsada; este sonido depende de la longitud de la misma cuerda.

La segunda es sobre los tonos armoniosos producidos por las cuerdas vibrantes de la lira cuando las razones de las longitudes de las cuerdas son números enteros.

Estas proporciones pueden ser extendidas a otros instrumentos. Y que, además, empleó la música como un medio para ayudar a los enfermos.

Por otro lado, uno de sus resultados matemáticos fue: el teorema de Pitágoras.

Establece la relación de igualdad entre la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo, y el cuadrado de su hipotenusa.

Se identifican como catetos los dos lados que conforman el ángulo recto de un triángulo rectángulo, mientras que la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto de ese triángulo.

Estas palabras dan nombre a los lados del triángulo provienen del griego.

Cateto tiene su origen en el término kathetos, que deriva de cotos, que significa recto o conforme, es decir, “que cae en perpendicular”.

Hipotenusa proviene de hypoteinousa, que significa “fuertemente tensada”.

De este modo, al tensar fuertemente la cuerda para trazar una circunferencia, la hipotenusa es el diámetro de la circunferencia, y ésta produce un vértice en el ángulo recto del triángulo rectángulo. Por lo tanto, el diámetro subtiende el ángulo recto.

En cuanto a la relación que establece el teorema, ¿qué significa el cuadrado de la hipotenusa y el de los catetos?

Para cada uno de los catetos y la hipotenusa del triángulo rectángulo se construye un cuadrado geométrico sobre el lado.

Después, los dos cuadrados de los catetos son recortados y rearmados para formar un cuadrado idéntico que se formó en la hipotenusa.

En consecuencia, la suma de los dos cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Se utiliza la geometría para obtener el teorema. Sin embargo, actualmente se conoce una expresión matemática para este teorema.

La expresión matemática es:

Sean “a” y “b” catetos de un triángulo rectángulo y “c” la hipotenusa; se tiene que:

“a” al cuadrado más “b” al cuadrado es igual a “c” al cuadrado.

Ahora, el teorema tiene un uso práctico inmediato del que se desprende la primera y más esencial de sus propiedades: servía para determinar perpendicularidades.

En un triángulo rectángulo “el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos” porque los catetos son perpendiculares.

Se sabe que del teorema se deducen tres corolarios o formulaciones posteriores, de aplicación práctica y verificación algebraica, empleando el lenguaje algebraico, la primera es “a” es igual a raíz cuadrada de “c” al cuadrado, menos “b” al cuadrado.

La segunda es “b” es igual a raíz cuadrada de “c” al cuadrado, menos “a” al cuadrado.

Y la tercera es “c” es igual a raíz cuadrada de “a” al cuadrado, más “b” al cuadrado.

En la antigua Grecia, un arquitecto que tuviera la necesidad de comprobar si dos paredes eran perpendiculares, utilizaba una cuerda repleta de nudos equidistantes, el instrumento empleado para medir longitudes.

Con ella, el arquitecto marcaba 3 unidades en una pared, y 4 unidades en la otra. Las paredes demostraban ser perpendiculares siempre que hubiera 5 unidades entre los extremos marcados.

Se puede suponer que, de este modo, un problema de medición de ángulos que resultaba difícil se reducía a la verificación de una relación entre longitudes, lo cual era más práctico.

Actualmente hay otras áreas de las matemáticas que se han servido de este teorema para sus cálculos, por ejemplo:

– La geometría analítica plana, que tiene por objetivo hallar la distancia entre puntos de un plano cartesiano.

– O en otros casos, conocer la altura de un edificio, sabiendo la medida de la sombra que proyecta, tal como Pitágoras lo hizo con las pirámides.

También comprobar la distancia del punto más alto del edificio al extremo de la sombra, por mencionar algunas.

Otras aportaciones matemáticas que se le adjudican a él y a sus discípulos son:

– La invención de la tabla de multiplicar.

– La construcción del pentágono regular y los cinco poliedros regulares.

– La existencia de los números irracionales.

– En geometría las proporciones tan perfectas que las describió como “divinas”.

– Además, sus discípulos fueron los primeros en establecer demostraciones matemáticas mediante el razonamiento deductivo.

– También se estudió la formación de los números cuadrados, partiendo de la unidad y agregando la serie ascendente de los números impares.

– La utilización de los llamados “números perfectos” sólo para la suma de números enteros iguales a la suma de sus divisores?

Por ejemplo, el diez era el mejor de los números al contener los primeros cuatro números enteros: 1, más 2, más 3, más 4 es igual a 10. En consecuencia, estos números escritos en número de puntos forman un triángulo perfecto.

Como se ha demostrado, también estudió las propiedades de los números pares e impares y el número de puntos en cada patrón triangular.

Asimismo, los números enteros positivos, que son iguales a la suma de sus divisores propios positivos para sostener que cada número tiene su propia personalidad.

Y, ¿cómo llegó a Metaponto?

Hubo una disputa en Crotona, que fue atacada por Cilón. Y aunque él era un noble de la misma ciudad, su acción lo obligó a huir a Metaponto.

La escuela se desintegró y el alumnado escapó.

Pitágoras fue el primer pensador que intentó conciliar las matemáticas con la filosofía, una de las mayores aportaciones realizadas a la civilización a lo largo de toda la historia.

Desde entonces, las matemáticas han mantenido una estrecha relación con la filosofía y la ciencia hasta el punto en el que algunos de los más grandes filósofos han sido también grandes matemáticos.

De este modo, Pitágoras instauró algo nuevo en la historia del pensamiento: el método experimental y la expresión en fórmulas matemáticas de las leyes de la naturaleza.

Asimismo, diseñó el llamado pentagrama místico, que se obtiene a partir de tres triángulos isósceles iguales, que es un diagrama simbólico esencial de la geometría sagrada.

En la escuela pitagórica se propuso el “teorema sobre la suma de los ángulos interiores de un triángulo”, que es igual a dos ángulos rectos.

Los pitagóricos también conocían la generalización establecida para un polígono con “n” lados, donde la suma de sus ángulos interiores es “2n” menos 4 ángulos rectos, y la suma de sus ángulos exteriores es igual a cuatro ángulos rectos.

Tiempo después, su destino encontraría el mismo que el de Tales, Anaximandro y Feréquides, falleció a una edad avanzada, a los 94 años.

Lee otra de las frases célebres de Pitágoras: “Mide tus deseos, pesa tus opiniones y cuenta tus palabras”.

El Reto de Hoy:

Escribe en tu cuaderno la aportación que te llamó más la atención sobre el filósofo y matemático Pitágoras.

También reflexiona sobre la utilidad en tu vida diaria sobre dos importantes aportaciones: el teorema de Pitágoras y la escala musical.

Con el trabajo de Pitágoras has visto a las matemáticas como una construcción social en donde se formulan y argumentan hechos y procedimientos matemáticos.

En tu libro de texto de Matemáticas de tercer grado vienen problemas y ejercicios similares al teorema de Pitágoras. Se te sugiere que practiques lo aprendido.

¡Buen trabajo!

Gracias por tu esfuerzo.