Aprendizaje esperado: Resuelve problemas de proporcionalidad directa e inversa y de reparto proporcional.
Énfasis: Enunciar las características de la proporcionalidad directa, mediante el uso de una tabla, de la expresión algebraica y de la constante de proporcionalidad.
Transcripción automática del video:
y secundaria segundo grado y matemáticas
todo en la misma proporción
no no no
bienvenidas y bienvenidos soy su
profesora pamela corona limón iniciemos
nuestra clase de matemáticas
el día de hoy iniciaremos con el estudio
del aprendizaje esperado resuelve
problemas de proporcionalidad directa e
inversa y de reparto proporcional para
ello tus profesores de segundo grado
preparamos a lo largo de cinco clases
diferentes actividades y retos para que
inicies con el reconocimiento de las
características de una tabla de
variación de proporcionalidad directa
así como su constante de
proporcionalidad
y más adelante les enseñaremos a
resolver problemas de proporcionalidad
directa donde falta algún valor y
estudiaremos cómo resolver problemas de
reparto proporcional
para avanzar en su aprendizaje
estudiaremos las características de la
proporcionalidad inversa distinguiremos
sus diferencias con la proporcionalidad
directa y finalmente resolveremos
problemas de proporcionalidad inversa
faltando algún valor
aplicaremos lo aprendido al resolver
problemas de proporcionalidad directa e
inversa distinguiendo sus
características qué les parece
empecemos en esta clase donde
anunciaremos las características de la
proporcionalidad directa mediante el uso
de una tabla y de la expresión
algebraica además estudiaremos qué es
una constante de proporcionalidad
atentos te recomiendo tomar nota de todo
aquello que consideren necesario para
apoyar su aprendizaje
recuerden tener con ustedes su cuaderno
una regla lápiz o lapicero y su libro de
texto gratuito de la asignatura de
matemáticas
me gustaría abrir la clase con una
lectura para seguir descubriendo los
detalles numéricos que nos rodea leamos
un extracto de los viajes de gulliver
del autor inglés jonathan lewis sus
grandes telescopios no exceden de tres
pies aumentan mucho más que los de 100
yardas que tenemos nosotros y al mismo
tiempo muestran las estrellas con mayor
claridad esta ventaja les ha permitido
extender sus descubrimientos mucho más
allá que los astrónomos de europa pues
han conseguido hacer un catálogo de
10.000 estrellas fijas mientras el más
extenso de los nuestros no contiene más
de la tercera parte de este número
asimismo han descubierto dos estrellas
menores o satélites que giran alrededor
de marte de las cuales la interior dista
del centro del planeta primario
exactamente tres diámetros de este y la
exterior
5 la primera hace una revolución en el
espacio de 10 horas y la última en 21 y
media así que los cuadrados de sus
tiempos periódicos están casi en igual
proporción que los cubos de su distancia
del centro de marte lo que evidentemente
indica que están sometidas a la misma
ley de gravitación que gobierna los
demás cuerpos celestes leer activa
nuestra imaginación nos da la
oportunidad de conocer otros mundos como
a gulliver en sus viajes
y si prestamos atención a la lectura
habremos notado la presencia de las
matemáticas en varios momentos cierren
sus ojos por unos segundos y recuerden
los datos que la lectura le remiten
algún conocimiento matemático la
información que ustedes utilizan en su
día a día
muy bien abran sus ojos deben haber
venido a su mente momentos de la lectura
como la cantidad de tres cuartos que nos
recuerda a mediciones en la cocina o 100
yardas te recuerda algo han oído esas
cantidades cuando corren recuerden por
qué eso haremos ahora mismo rememorar un
conocimiento
recuerdan qué es y cuál es la utilidad
de una tabla de datos para establecer la
relación entre dos magnitudes
analicemos con mayor detalle la
información contenida en esta tabla de
datos las kilocalorías son la energía
que necesita nuestro cuerpo para vivir
para desarrollar nuestras funciones
vitales debemos incorporar cada día
alimentos que nos aporten energía
la organización mundial de la salud
recomienda para una persona entre los 14
y 18 años consumir 2 mil a 2 mil 300
kilocalorías diarias en la tabla podemos
ver el valor calórico del huevo por cada
100 gramos es decir hay una razón por
cada 100 gramos de huevo se tiene un
aporte calórico de 159 kilocalorías
qué es y cuál es la utilidad de la tabla
de datos
es una forma de organizar información de
manera tal que resulte fácil de
consultar
asimismo presenta información de manera
ordenada y clara al mismo tiempo que
proporcionan elementos para facilitar la
comparación
ej
por cada 100 gramos de huevo se estima
un valor calórico de 159 kilocalorías
cuál será el valor calórico en 200
gramos y en 300 gramos
hay dos magnitudes relacionadas
la primera magnitud 1 corresponde la
cantidad de gramos de huevo y la segunda
magnitud 2 corresponde al valor calórico
en kilocalorías
recordemos que la razón es la relación
entre dos magnitudes que son comparables
y que pueden ser de la misma naturaleza
o no
una tabla de datos es útil para
establecer razones entre las magnitudes
involucradas y nos permite compararlas
establezcamos las razones
la primera razón por cada 100 gramos de
huevo hay un aporte calórico de 159
kilocalorías
la segunda razón por cada 200 gramos de
huevo hay un aporte calórico de 318
kilocalorías que es lo que sucede al
comparar las dos razones si la cantidad
aumenta el doble
el valor calórico aumenta al doble las
magnitudes relacionadas aumentan en la
misma proporción
cuando aumenta la cantidad en los gramos
de huevo aumentará la cantidad en el
valor calórico en la misma proporción en
este caso al doble
es por esta característica que se
establece una relación de
proporcionalidad directa
el aumento de una magnitud produce el
aumento de la otra magnitud en la misma
proporción el doble de 100 gramos de
huevo en este caso son 200 gramos le
corresponde un valor calórico del doble
de 159 kilocalorías que serían 318
kilocalorías entonces decimos que al
doble de gramos le corresponde el doble
del valor calórico en kilocalorías
es útil hacer uso de las tablas de datos
porque nos permiten comparar relaciones
entre los datos en este caso de razones
de proporcionalidad
y en la vida diaria una tabla de datos
como ésta nos permite saber cuántas
calorías que estamos consumiendo por
ejemplo
como se habrán dado cuenta si los gramos
de huevo aumentan también aumenta el
valor calórico en la misma proporción a
este tipo de relación en la que una
magnitud influye en otra se le determina
como una relación de proporcionalidad
pero qué es la proporcionalidad la
proporcionalidad directa se define como
la relación entre cuatro cantidades
cuando una de las magnitudes cambia la
otra se modifica en la misma proporción
si una aumenta la otra aumenta también
proporcionalmente y si una disminuye la
otra también lo hace guardando la
proporción bien nos va quedando claro
ahora analicemos una situación que nos
servirá para comprender mejor el
concepto de variación proporcional
víctor fue con su familia de vacaciones
a la playa al llegar al hotel observan
que el costo de la habitación familiar
es de 650 pesos por noche si desean
hospedarse durante cinco noches cuál
será la cantidad total que deberán pagar
como podrán darse cuenta en la tabla se
pueden observar los datos organizados de
la relación entre la cantidad de días y
el costo correspondiente en peso en el
problema la magnitud 1 es representada
por la cantidad de días de hospedaje y
la magnitud de 2 por el costo en pesos
por cada día de hospedaje en esta
situación se presenta una relación de
dos magnitudes o razones
el costo de la habitación por cada día
de hospedaje es de 650 pesos si víctor y
su familia se quedan cinco días que
piensan que sucederá con el costo si el
número de días de hospedaje se duplica
piensan que se duplica el costo
exacto si los días de hospedaje aumentan
también aumenta el costo en la misma
proporción por lo tanto existe una
relación de proporcionalidad entre
cuatro cantidades el aumento de los días
de hospedaje tiene una relación directa
en el aumento del costo en esta
situación observamos una relación de
proporcionalidad directa analizaremos
otras características de la tabla o
registro tabular seguiremos usando un
ejemplo las vacaciones de víctor
si multiplicamos por 2 el aumento entre
los días de hospedaje y el costo
aumentaron en la misma proporción en
este caso al doble
por 3 el aumento entre los días de
hospedaje y el costo aumentarán en la
misma proporción en este caso al triple
por 4 el aumento entre los días de
hospedaje y el costo aumentarán en la
misma proporción en este caso al
cuádruple ya sabemos que al doble le
toca el doble al triple le corresponde
el triple y así sucesivamente por lo
tanto la familia de víctor pagará el
quíntuple y el número que multiplica a
ambas magnitudes lo llamaremos factor
interno
ahora analizaremos otras características
de la tabla o registro tabular siguiendo
con la relación hospedaje días
factor constante de proporcionalidad
como su nombre lo indica es el mismo
factor por ello se usa el término
constante que al multiplicar el conjunto
de datos días de hospedaje nos permite
conocer el costo correspondiente
comprendieron el concepto de factor
constante de proporcionalidad veamos dos
ejemplos más variación de
proporcionalidad directa
una relación entre dos conjuntos de
cantidades es proporcional si existe un
número siempre el mismo que
multiplicando a cualquiera de las
cantidades de un conjunto da como
resultado la cantidad correspondiente
del otro conjunto
bien veamos la formalización de las
características estudiadas
dado el valor unitario para uno en el
caso del conjunto de las equis y 120 en
el caso del conjunto de la ye tenemos
que x es la medida de cualquier cantidad
de la primera magnitud
y ya es la medida de cualquier cantidad
de la segunda magnitud
entonces para obtener los valores de y
multiplicamos x x 120 así que uno es
igual a 120 por 12 es igual a 120 por 2
de 3 es igual a 120 por 3 por lo tanto y
es igual acá por x que representa el
factor o constante de proporcionalidad y
k es igual a 120 hasta ahora hemos
estudiado las características de la
variación proporcional en particular de
la variación de proporcionalidad directa
llegó el momento de resolver este reto
kinda k es la montaña rusa más alta y
más rápida del mundo está situada en el
parque de diversiones en jackson nueva
jersey eeuu la montaña rusa tiene una
longitud de pista que mide 950 metros es
decir en una vuelta se recorren esos
metros cuántos metros se recorren en dos
tres cuatro y cinco vueltas
tenemos dos magnitudes x representa el
número de vueltas y los metros
correspondientes a las vueltas
a una vuelta le corresponden 950 metros
en la expresión de álgebra jka ye igual
acá por x x representa las vueltas que
representa los metros recorridos que es
la longitud de la pista que representa
la constante de proporcionalidad
ahora con esta información determinemos
valores y completemos la tabla si
conocemos el valor de la magnitud x y el
valor de la magnitud
obtendremos el valor de la constante k
dividiendo
entre x la expresión algebraica es k
igual hay entre x
si conocemos el valor de x obtendremos
el valor de y multiplicando por la
constante que la expresión algebraica es
ye igual acá por x
si conocemos el valor de y obtendremos
el valor de x dividiendo por la
constante que la expresión algebraica es
x igual ayer entre k
en esta situación se presentan dos
magnitudes el número de vueltas que
representamos con x y los metros
recorridos que representamos con ye
además la constante de proporcionalidad
que representamos con k y que aún no
conocemos recordemos que la constante de
proporcionalidad determina el valor de
la magnitud correspondiente
también observemos como al conocer
ciertos datos correspondientes a las
magnitudes se pueden determinar otros
datos faltantes
para calcular el valor de la constante
dividimos un valor de g con su
correspondiente nx por ejemplo cuando
oye es igual a 950 y x es igual a 1
entonces acá es igual a 950
para determinar valores en y
multiplicamos su correspondiente en x
porque ya ha determinado su valor en
este caso 950 y así de esta manera
determinamos que si x representa los
números de vueltas
su valor es 2 siendo el valor de 1.900
cuando x es igual a 3 que es igual a
2.850 y si x es igual a 4 que es igual a
3800
para determinar valores de x2 dividimos
de 2 entre la constante k que es igual a
950 así si conocemos la longitud de
pista dividimos 1900 que es de 2 entre
950 que es k y obtendremos a x2 que
representa el número de vueltas en este
caso 2 ya fuimos con las matemáticas a
un parque de diversiones ahora vayamos
de compras analicemos dos listas de
precios de un mismo artículo en dos
locales en uno de ellos los artículos se
pueden adquirir tanto en menudeo como en
mayoreo
que identificaron en los precios y en la
cantidad de artículos adquiridos
analicemos cada caso para uno
efectivamente en ambos locales entre más
artículos se compran mayor es la suma
que se paga pero como estudiamos ésta no
es una característica suficiente para
determinar que hay una relación de
proporcionalidad directa
para dos en el local ají carita al
aplicar el factor interno que es cuatro
identificamos que 1 por 4 es 4 y 8 por 4
es 32 es decir por 4 artículos se paga
el cuádruple en relación con la compra
de un artículo pero en el caso del local
el surtidor no se tiene el mismo factor
interno ni el factor constante de
proporcionalidad porque la relación
entre la adquisición de un artículo por
10 pesos y 4 artículos por 39 pesos no
es proporcional
para tres en el caso de local la
jicarita la constante de
proporcionalidad es 8 porque siempre que
se multiplique la cantidad de piezas por
8 se obtendrá el precio total cuidando
la proporción
en el caso de local el surtidor no hay
una constante debido a que el factor no
es el mismo para cada caso
para 4 en el caso de local la he carita
los datos de la columna piezas de
artículos adquiridos están relacionados
proporcionalmente con los datos de la
columna costo y cumplen con tener un
factor constante de proporcionalidad k
es igual a 8 sus razones internas o
factores internos son iguales la razón
entre 1 y 8 es la misma que entre 2 y 16
también se puede decir que el costo es
proporcional a la cantidad de piezas de
un artículo esto significa que el costo
por pieza es constante
en el caso el local ve los datos están
en una relación aditiva no tiene sentido
decir que dos piezas están en relación
proporcional porque se pagan 19 pesos
para que tenga sentido hablar de
proporcionalidad es necesario que haya
al menos 4 cantidades en juego
dos que se relacionan con otras tantas
continuando con este tema voy a usar de
ejemplo la siguiente experiencia escolar
dos alumnos comenzaron a trabajar con un
problema de su libro de texto cada uno
de ellos usó una forma diferente de
resolverla veamos cuál era el problema
proporcionalidad directa e inversa
como lo resolverían ustedes completan
las tablas y responden en la tabla se
muestra el precio por kilogramo de
tortillas por un kilogramo pagas 12
pesos por dos kilogramos pagas 24 pesos
inciso a qué estrategia se viste para
completar la tabla
inciso b qué sucede con el precio al
aumentar los kilogramos de tortillas que
se compran ahora veamos cómo lo resolvió
el alumno 1
el alumno 1 sumó el precio de un
kilogramo de tortillas según los
kilogramos solicitados para conocer el
precio de los 5 kilogramos de tortillas
se dio cuenta que con la multiplicación
12 por 5 obtendría el costo el
identifico que hay un factor constante
que es 12
en su respuesta del inciso b identifica
que tanto los kilogramos de tortillas
como el costo aumenta pero no nos dijo
cómo es ese aumento
veamos como lo resolvió el alumno 2
el alumno 2 estableció dos razones o una
proporción para compararlas e identificó
que hay un factor constante que es 12 en
su respuesta del inciso b identifica que
en tanto los kilogramos de tortillas
como el costo aumentan en la misma
proporción
ustedes resolvieron el ejercicio
encontraron el factor constante y el
aumento proporcional revisen sus
respuestas y hagan sus anotaciones
en esta clase estudiamos situaciones que
seguramente en su vida diaria han tenido
la oportunidad de observar la
proporcionalidad sus elementos y
características de proporcionalidad
directa así como los procedimientos para
determinar datos faltantes pongan a
prueba su imaginación piensan en alguna
situación de su vida diaria en donde
hayan identificado un ejemplo de
variación de proporcionalidad directa ya
no tengo en su cuaderno
también pueden consultar su libro de
texto gratuito de matemáticas de segundo
grado para repasar lo referente a la
variación de proporcionalidad directa
que hemos estudiado en esta clase de hoy
listo terminamos recuerden que nadie
puede ser ayudado si no quiere ser
ayudado así que ánimo empeño y
dedicación hasta la próxima
si tienes dudas o necesitas ayuda llama
al centro de apoyo pedagógico a
distancia el número de teléfono para
secundaria es el 55 36 01 71 23
si requieres consultar los libros de
texto en versión digital recuerda que
los puedes encontrar en la página con al
itec
punto punto gob.mx y recuerda que
también cuentas con el sitio aprende en
casa punto sep.gob.mx en donde podrás
ver nuevamente los vídeos de los
programas y además encontrarás
actividades para fortalecer tus
aprendizajes